Convexité - Fonction convexe

Définition

Définition :
Soit $f:I\to J$
$f$ est dite convexe si $$\forall (x,y)\in I^2, \forall \lambda\in[0,1], f\big ((1-\lambda)x+\lambda y\big ) \leqslant (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$

Propriétés

Caractérisation

Proposition :
Soit $f:U\to{\Bbb R}$ deux fois différentiable, avec $U$ un ouvert convexe de ${\Bbb R}^n$
On a les équivalences : $$\begin{align}&{{ f\text{ est convexe} }}\\ \iff&{{\forall x,y\in U,\qquad\;\;\,\qquad f(y)-f(x)\geqslant\langle{\nabla f(x),x-y}\rangle }}\\ \iff&{{\forall x,y\in{\Bbb R}^n,\qquad\;\;\,\quad\; \;\, \langle{\nabla f(x)-\nabla f(y),x-y}\rangle \geqslant0}}\\ \iff&{{\forall x\in U,\forall v\in S^{n-1},\quad \langle{\operatorname{Hess}(f)(x)v,v}\rangle \geqslant0 }}\end{align}$$

Dérivée

Proposition :
$$f\text{ convexe }\iff f^\prime\text{ croissante }$$

Lien avec les fonctions affines

Proposition :
Une fonction convexe peut être exprimée comme un $\sup$ de fonctions affines : $$\phi(x)=\underset{ax+b\leqslant \phi(x)}{\sup_{a,b\in{\Bbb R}} }ax+b$$

Notions liées

Concavité
Point d'inflexion
Lemme des trois pentes

Exercices

START
Exo-Démo
Soient $A(1,2)$, $B(4,1)$ et $C(3,4)$ trois points du plan euclidien
Donner un système d'inéquations linéaires dont la solution est l'intérieur du triangle $\triangle ABC$
1: Équation de $(AC)$ : $-x+y=1$
Le point $B$ est tel que $-x+y=-3\lt 1$
Donc le demi-plan de bord $(AC)$ contenant $B$ admet l'équation $$-x+y\leqslant1$$
De même, l'équation du demi-plan de bord $(AB)$ contenant $C$ et l'équation du demi-plan de bord $(BC)$ contenant $A$ admettent respectivement comme équation : $$x+3y\geqslant7\quad\text{ et }\quad3x+y\leqslant13$$
1i: Équation des différents demi-plans
2: L'équation de $(ABC)$ est donc : $$\begin{cases}-x+y\leqslant1\\ x+3y\geqslant7\\ 3x+y\leqslant13\end{cases}$$END
(Paramétrisation - Paramétrage)

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